Основы мат. анализа Примеры

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}$

Этап 1

Умножим обе части на $x^{2} - 16$ .

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $(\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы записать $\frac{A}{x - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.2

Чтобы записать $\frac{B}{x + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 4) (x + 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Умножим $\frac{A}{x - 4}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $\frac{B}{x + 4}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 4) (x + 4)$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$a x + b = \frac{A (x + 4) + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a x + b = \frac{A x + A \cdot 4 + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.5.2

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 \cdot A + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x + B \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.5.4

Перенесем $- 4$ влево от $B$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Этап 2.2.1.6

Умножим $\frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)}$ на $x^{2} - 16$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 16)}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 2.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 4^{2})}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 2.2.1.7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 2.2.1.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 2.2.1.8.1.2

Перепишем это выражение.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Этап 2.2.1.8.2.2

Разделим $A x + 4 A + B x - 4 B$ на $1$ .

$a x + b = A x + 4 A + B x - 4 B$

Этап 2.2.1.8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.3.1

Изменим порядок $A$ и $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + B x - 4 B$

Этап 2.2.1.8.3.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + x B - 4 B$

Этап 2.2.1.8.3.3

Перенесем $4 A$ .

$a x + b = x A + x B + 4 A - 4 B$

Этап 3

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$

Этап 3.2

Разделим каждый член $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ на $x$ .

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$a = A + B + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Этап 3.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} - \frac{b}{x}$