Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 3$

$b = 5$

$k = - 5$

$h = 4$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(4, - 5)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + 25}$

Этап 5.3.3

Добавим $9$ и $25$ .

$\sqrt{34}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 8)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, - 2), (4, - 8)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 5 + \sqrt{34})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - 5 - \sqrt{34})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(4, - 5 + \sqrt{34}), (4, - 5 - \sqrt{34})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 5^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 25}}{3}$

Этап 8.3.3

Добавим $9$ и $25$ .

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{34}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{25}{\sqrt{34}}$ на $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{25}{\sqrt{34}}$ на $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{34}$ в степень $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{34}$ в степень $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{34}}^{2}$ в виде $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{34}$ в виде $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

Этап 11.2

Упростим $\frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{3}{5} \cdot (x - 4) - 5$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{3}{5} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $- 4$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{3 \cdot - 4}{5} - 5$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12}{5} - 5$

Этап 11.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} - 5$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 11.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12 - 5 \cdot 5}{5}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12 - 25}{5}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $25$ из $- 12$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 37}{5}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = - \frac{3}{5} \cdot (x - 4) - 5$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- \frac{3}{5} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + 4 (\frac{3}{5}) - 5$

Этап 12.2.1.4.2

Объединим $4$ и $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{4 \cdot 3}{5} - 5$

Этап 12.2.1.4.3

Умножим $4$ на $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{12}{5} - 5$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} - 5$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 12.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12 - 5 \cdot 5}{5}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12 - 25}{5}$

Этап 12.2.5.2

Вычтем $25$ из $12$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{- 13}{5}$

Этап 12.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}, y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(4, - 5)$

Вершины: $(4, - 2), (4, - 8)$

Фокусы: $(4, - 5 + \sqrt{34}), (4, - 5 - \sqrt{34})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{34}}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}$ , $y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

Этап 15