Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = - 4$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 4, - 1)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Этап 5.3.3

Добавим $9$ и $16$ .

$\sqrt{25}$

Этап 5.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, - 4)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 4)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, - 6)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Этап 8.3.3

Добавим $9$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Этап 8.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Этап 8.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{4^{2}}{5}$

Этап 9.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Этап 11.2

Упростим $\frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 - 1$

Этап 11.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 2$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Этап 12.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Этап 12.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 - 1$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 3 - 1$

Этап 12.2.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{4} + 2, y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 4, - 1)$

Вершины: $(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Фокусы: $(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Эксцентриситет: $\frac{5}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{16}{5}$

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{4} + 2$ , $y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Этап 15