Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Этап 2

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 4 x = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 2.2.2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 2.2.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.2.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.2.2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.2.2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.2.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, 4, - 1$

Этап 2.2.3

Исключим решения, которые не делают $0 = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$ истинным.

$x = 0, - 1$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 1, 0)$

Этап 3

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = \frac{{(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0}{(0) - 4}$

Этап 3.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0}{(0) - 4}$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0}{(0) - 4}$

Этап 3.2.3

Избавимся от скобок.

$y = \frac{0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0}{0 - 4}$

Этап 3.2.4

Избавимся от скобок.

$y = \frac{{(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0}{(0) - 4}$

Этап 3.2.5

Упростим $\frac{{(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0}{(0) - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \frac{0 - 3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0}{0 - 4}$

Этап 3.2.5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \frac{0 - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0}{0 - 4}$

Этап 3.2.5.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 4 \cdot 0}{0 - 4}$

Этап 3.2.5.1.4

Умножим $- 4$ на $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 0}{0 - 4}$

Этап 3.2.5.1.5

Добавим $0 + 0$ и $0$ .

$y = \frac{0 + 0}{0 - 4}$

Этап 3.2.5.1.6

Добавим $0$ и $0$ .

$y = \frac{0}{0 - 4}$

Этап 3.2.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Вычтем $4$ из $0$ .

$y = \frac{0}{- 4}$

Этап 3.2.5.2.2

Разделим $0$ на $- 4$ .

$y = 0$

Этап 3.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 1, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 5