Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 2 x + 5$

Этап 1

Запишем $x^{2} - 2 x + 5$ в виде уравнения.

$y = x^{2} - 2 x + 5$

Этап 2

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{2} - 2 x + 5$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.3

Вычтем $20$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Этап 2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.3

Вычтем $20$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Этап 2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + 2 i$

Этап 2.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.3

Вычтем $20$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.2.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Этап 2.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - 2 i$

Этап 2.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Этап 2.3

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

точки пересечения с осью x: $Нет$

Этап 3

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 5$

Этап 3.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{2} - 2 \cdot 0 + 5$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 5$

Этап 3.2.3

Упростим ${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 + 5$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Этап 3.2.3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 5$

Этап 3.2.3.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$y = 5$

Этап 3.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 5)$

Этап 4

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $Нет$

Точки пересечения с осью y: $(0, 5)$

Этап 5