Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

Этап 1

Запишем $x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$ в виде уравнения.

$y = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

Этап 2

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} = 0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + 10 x^{3} + 25 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $10 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (10 x) + 25 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $25 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 25 = 0$

Этап 2.2.2.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (10 x)$ .

$x^{2} (x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 25 = 0$

Этап 2.2.2.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 25$ .

$x^{2} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Этап 2.2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.5

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 2.2.5.2

Решим ${(x + 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.2.5.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 5$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 5, 0)$

Этап 3

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2}$

Этап 3.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 10 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2}$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} + 25 {(0)}^{2}$

Этап 3.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} + 25 \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.4

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2}$

Этап 3.2.5

Упростим ${(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2}$

Этап 3.2.5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 + 25 {(0)}^{2}$

Этап 3.2.5.1.3

Умножим $10$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 25 {(0)}^{2}$

Этап 3.2.5.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 + 25 \cdot 0$

Этап 3.2.5.1.5

Умножим $25$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Этап 3.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 3.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 5, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 5