Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12 = 0$ .

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12 = 0$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12 = 0$

Этап 1.2.3

Каждый член в $\frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12 = 0$ умножим на $4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $\frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12 = 0$ на $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x \cdot 4 - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x^{2} - 8 x - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.1.3

Умножим $- 12$ на $4$ .

$x^{2} - 8 x - 48 = 0 \cdot 4$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $0$ на $4$ .

$x^{2} - 8 x - 48 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим $x^{2} - 8 x - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 48$ , а сумма — $- 8$ .

$- 12, 4$

Этап 1.2.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 12) (x + 4) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 12 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 1.2.7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 12) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 12, - 4$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(12, 0), (- 4, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 12$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{4} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - 12$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 12$

Этап 2.2.3

Упростим $\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 12$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 - 12$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 12$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 12$

Этап 2.2.3.2.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$y = - 12$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 12)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(12, 0), (- 4, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 12)$

Этап 4