Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 x^{2} + 12 x - 7$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 6 x^{2} + 12 x - 7$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $6 x^{2} + 12 x - 7 = 0$ .

$6 x^{2} + 12 x - 7 = 0$

Этап 1.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3

Подставим значения $a = 6$ , $b = 12$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 7)}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 6 \cdot - 7}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 24 \cdot - 7}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 168}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4.1.3

Добавим $144$ и $168$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $312$ в виде $2^{2} \cdot 78$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $312$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{12}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{12}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 6 \cdot - 7}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 24 \cdot - 7}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 168}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.5.1.3

Добавим $144$ и $168$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $312$ в виде $2^{2} \cdot 78$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $312$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{12}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{12}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.5.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{78}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{78})}{6}$

Этап 1.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{78})$ .

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{78})}{6}$

Этап 1.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{6 - \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 6 \cdot - 7}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 24 \cdot - 7}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 168}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.6.1.3

Добавим $144$ и $168$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $312$ в виде $2^{2} \cdot 78$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $312$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot 6}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{12}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{78}}{12}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.6.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{78}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{78})}{6}$

Этап 1.2.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - (\sqrt{78})$ .

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{78})}{6}$

Этап 1.2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{6 + \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{6 - \sqrt{78}}{6}, - \frac{6 + \sqrt{78}}{6}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- \frac{6 - \sqrt{78}}{6}, 0), (- \frac{6 + \sqrt{78}}{6}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 6 {(0)}^{2} + 12 (0) - 7$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 6 \cdot 0^{2} + 12 (0) - 7$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 6 {(0)}^{2} + 12 (0) - 7$

Этап 2.2.3

Упростим $6 {(0)}^{2} + 12 (0) - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 6 \cdot 0 + 12 (0) - 7$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$y = 0 + 12 (0) - 7$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $12$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 7$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 7$

Этап 2.2.3.2.2

Вычтем $7$ из $0$ .

$y = - 7$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 7)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- \frac{6 - \sqrt{78}}{6}, 0), (- \frac{6 + \sqrt{78}}{6}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 7)$

Этап 4