Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перегруппируем члены.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3} + 15 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $15 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2.3

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Этап 1.2.2.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Этап 1.2.2.5

Разложим $u^{2} - 9 u + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $- 9$ .

$- 5, - 4$

Этап 1.2.2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Этап 1.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Этап 1.2.2.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 1.2.2.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 1.2.2.9

Вынесем множитель $x^{2} - 5$ из $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.1

Вынесем множитель $x^{2} - 5$ из $- 3 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 1.2.2.9.2

Вынесем множитель $x^{2} - 5$ из $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 1.2.2.9.3

Вынесем множитель $x^{2} - 5$ из $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 1.2.2.10

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Этап 1.2.2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Этап 1.2.2.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 1.2.2.11

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.11.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 1.2.2.11.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 1.2.2.11.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 1.2.2.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.12.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 1.2.2.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Этап 1.2.2.13

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Этап 1.2.2.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.14.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.14.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 1.2.2.14.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Этап 1.2.2.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{2} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.5

Упростим ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.5.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.5.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим $- 9$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Этап 2.2.5.1.6

Умножим $15$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Этап 2.2.5.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 20$

Этап 2.2.5.2.4

Добавим $0$ и $20$ .

$y = 20$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 20)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 20)$

Этап 4