Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

Этап 1

Приравняем $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ к $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + 2 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2$ .

$x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 2 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 2 x + 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 2.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 2.4.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 2.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i$

Этап 2.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 2.4.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 2.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i$

Этап 2.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i, 1 - i$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 0$ (кратно $1$ )

$x = 1 + i$ (кратно $1$ )

$x = 1 - i$ (кратно $1$ )

$x = 0$ (кратно $1$ )

$x = 1 + i$ (кратно $1$ )

$x = 1 - i$ (кратно $1$ )

Этап 3