Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

Этап 1

Упростим левую часть $\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Этап 1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = 1$

Этап 1.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Этап 1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем ${(y + 3)}^{2} \cdot 4$ в виде ${((y + 3) \cdot 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {((y + 3) \cdot 2)}^{2}}{16} = 1$

Этап 1.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x - 4$ и $b = (y + 3) \cdot 2$ .

$\frac{(x - 4 + (y + 3) \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Этап 1.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 4 + y \cdot 2 + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Этап 1.4.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 6) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Этап 1.4.3.4

Добавим $- 4$ и $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Этап 1.4.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (y \cdot 2 + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Этап 1.4.3.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Этап 1.4.3.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 6))}{16} = 1$

Этап 1.4.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 y) - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Этап 1.4.3.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Этап 1.4.3.10

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 6)}{16} = 1$

Этап 1.4.3.11

Вычтем $6$ из $- 4$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} = 1$

Этап 2

Умножим обе части на $16$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10) = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.2

Развернем $(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x (- 2 y)$ и $2 y x$ .

$x \cdot x - 2 x y + x \cdot - 10 + 2 x y + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.1.2

Добавим $- 2 x y$ и $2 x y$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 0 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.1.3

Добавим $x \cdot x + x \cdot - 10$ и $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.2

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$x^{2} - 10 \cdot x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.4.1

Перенесем $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.6

Умножим $- 10$ на $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.2.8

Умножим $2$ на $- 10$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.3.1

Добавим $- 10 x$ и $2 x$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 20 y - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.3.2

Вычтем $4 y$ из $- 20 y$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Этап 3.1.1.3.3.3

Перенесем $- 8 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $16$ на $1$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 16$

Этап 4

Приравняем уравнение к нулю.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 - 16 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $16$ из $- 20$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 36 = 0$