Основы мат. анализа Примеры

$x = e^{4 t}$ , $y = e^{- t}$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = e^{4 t}$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $e^{4 t} = x$ .

$e^{4 t} = x$

Этап 3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{4 t}) = \ln (x)$

Этап 4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $\ln (e^{4 t})$ , вынося $4 t$ из логарифма.

$4 t \ln (e) = \ln (x)$

Этап 4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$4 t \cdot 1 = \ln (x)$

Этап 4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 t = \ln (x)$

Этап 5

Разделим каждый член $4 t = \ln (x)$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 t = \ln (x)$ на $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\ln (x)}{4}$

Этап 6

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$

Этап 7

Упростим $e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{\ln (x)}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (x)$ .

$y = e^{- (\frac{1}{4} \ln (x))}$

Этап 7.2

Упростим $\frac{1}{4} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$y = e^{- \ln (x^{\frac{1}{4}})}$

Этап 7.3

Упростим $- \ln (x^{\frac{1}{4}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$y = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})}$

Этап 7.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$y = {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$

Этап 7.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

Этап 7.5.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$y = x^{\frac{- 1}{4}}$

Этап 7.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = x^{- \frac{1}{4}}$

Этап 7.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$