Основы мат. анализа Примеры

${(x - y)}^{11}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 - 1$

$1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1$

$1 - 11 - 55 - 165 - 330 - 462 - 462 - 330 - 165 - 55 - 11 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x - y)}^{11}$ $n = 11$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $12$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 11 - 55 - 165 - 330 - 462 - 462 - 330 - 165 - 55 - 11 - 1$ .

$1 a^{11} b^{0} + 11 a^{10} b + 55 a^{9} b^{2} + 165 a^{8} b^{3} + 330 a^{7} b^{4} + 462 a^{6} b^{5} + 462 a^{5} b^{6} + 330 a^{4} b^{7} + 165 a^{3} b^{8} + 55 a^{2} b^{9} + 11 a b^{10} + 1 a^{0} b^{11}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $- y$ в выражение.

$1 {(x)}^{11} {(- y)}^{0} + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{11}$ на $1$ .

${(x)}^{11} {(- y)}^{0} + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 1)}^{0} x^{11} y^{0} + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{11} y^{0} + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.5

Умножим $x^{11}$ на $1$ .

$x^{11} y^{0} + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{11} \cdot 1 + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.7

Умножим $x^{11}$ на $1$ .

$x^{11} + 11 {(x)}^{10} {(- y)}^{1} + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.8

Упростим.

$x^{11} + 11 x^{10} (- y) + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} + 11 \cdot - 1 x^{10} y + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.10

Умножим $11$ на $- 1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 {(x)}^{9} {(- y)}^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 \cdot {(- 1)}^{2} x^{9} y^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.13

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 \cdot 1 x^{9} y^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.14

Умножим $55$ на $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} + 165 {(x)}^{8} {(- y)}^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} + 165 x^{8} ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} + 165 \cdot {(- 1)}^{3} x^{8} y^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.17

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} + 165 \cdot - 1 x^{8} y^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.18

Умножим $165$ на $- 1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 {(x)}^{7} {(- y)}^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} ({(- 1)}^{4} y^{4}) + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 \cdot {(- 1)}^{4} x^{7} y^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.21

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 \cdot 1 x^{7} y^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.22

Умножим $330$ на $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} + 462 {(x)}^{6} {(- y)}^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} + 462 x^{6} ({(- 1)}^{5} y^{5}) + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.24

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} + 462 \cdot {(- 1)}^{5} x^{6} y^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.25

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} + 462 \cdot - 1 x^{6} y^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.26

Умножим $462$ на $- 1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 {(x)}^{5} {(- y)}^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.27

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} ({(- 1)}^{6} y^{6}) + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.28

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 \cdot {(- 1)}^{6} x^{5} y^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.29

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 \cdot 1 x^{5} y^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.30

Умножим $462$ на $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} + 330 {(x)}^{4} {(- y)}^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.31

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} + 330 x^{4} ({(- 1)}^{7} y^{7}) + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.32

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} + 330 \cdot {(- 1)}^{7} x^{4} y^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.33

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} + 330 \cdot - 1 x^{4} y^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.34

Умножим $330$ на $- 1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 {(x)}^{3} {(- y)}^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.35

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} ({(- 1)}^{8} y^{8}) + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.36

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 \cdot {(- 1)}^{8} x^{3} y^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.37

Возведем $- 1$ в степень $8$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 \cdot 1 x^{3} y^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.38

Умножим $165$ на $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} + 55 {(x)}^{2} {(- y)}^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.39

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} + 55 x^{2} ({(- 1)}^{9} y^{9}) + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.40

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} + 55 \cdot {(- 1)}^{9} x^{2} y^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.41

Возведем $- 1$ в степень $9$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} + 55 \cdot - 1 x^{2} y^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.42

Умножим $55$ на $- 1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 {(x)}^{1} {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.43

Упростим.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x {(- y)}^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.44

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x ({(- 1)}^{10} y^{10}) + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.45

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 \cdot {(- 1)}^{10} x y^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.46

Возведем $- 1$ в степень $10$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 \cdot 1 x y^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.47

Умножим $11$ на $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x y^{10} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.48

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x y^{10} + {(x)}^{0} {(- y)}^{11}$

Этап 4.49

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x y^{10} + 1 {(- y)}^{11}$

Этап 4.50

Умножим ${(- y)}^{11}$ на $1$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x y^{10} + {(- y)}^{11}$

Этап 4.51

Применим правило умножения к $- y$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x y^{10} + {(- 1)}^{11} y^{11}$

Этап 4.52

Возведем $- 1$ в степень $11$ .

$x^{11} - 11 x^{10} y + 55 x^{9} y^{2} - 165 x^{8} y^{3} + 330 x^{7} y^{4} - 462 x^{6} y^{5} + 462 x^{5} y^{6} - 330 x^{4} y^{7} + 165 x^{3} y^{8} - 55 x^{2} y^{9} + 11 x y^{10} - y^{11}$