Основы мат. анализа Примеры

${(3 x + 1)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(3 x + 1)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $3 x$ и $b$ $1$ в выражение.

$1 {(3 x)}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.1.2

Умножим ${(1)}^{0}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{0 + 1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1^{1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.2

Упростим $1^{1} {(3 x)}^{5}$ .

${(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $3 x$ .

$3^{5} x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.4

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.7

Умножим $81$ на $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.8

Найдем экспоненту.

$243 x^{5} + 405 x^{4} \cdot 1 + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.9

Умножим $405$ на $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 (3^{3} x^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.11

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 (27 x^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.12

Умножим $27$ на $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.13

Единица в любой степени равна единице.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} \cdot 1 + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.14

Умножим $270$ на $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (3^{2} x^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.16

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (9 x^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.17

Умножим $9$ на $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.18

Единица в любой степени равна единице.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.19

Умножим $90$ на $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.20

Упростим.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 5 (3 x) {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.21

Умножим $3$ на $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.22

Единица в любой степени равна единице.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x \cdot 1 + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.23

Умножим $15$ на $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Этап 4.24

Умножим $1$ на ${(1)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.24.1

Перенесем ${(1)}^{5}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + {(1)}^{5} \cdot 1 {(3 x)}^{0}$

Этап 4.24.2

Умножим ${(1)}^{5}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.24.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(3 x)}^{0}$

Этап 4.24.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{5 + 1} {(3 x)}^{0}$

Этап 4.24.3

Добавим $5$ и $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{6} {(3 x)}^{0}$

Этап 4.25

Упростим $1^{6} {(3 x)}^{0}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{6}$

Этап 4.26

Единица в любой степени равна единице.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1$