Основы мат. анализа Примеры

${(2 x + 5)}^{3}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 x + 5)}^{3}$ $n = 3$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $4$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 x$ и $b$ $5$ в выражение.

$1 {(2 x)}^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 x)}^{3}$ на $1$ .

${(2 x)}^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 x^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.5

Умножим $8$ на $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.8

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.9

Найдем экспоненту.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot 5 + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.10

Умножим $5$ на $12$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.11

Упростим.

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 3 (2 x) {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.12

Умножим $2$ на $3$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 6 x {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.13

Возведем $5$ в степень $2$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 6 x \cdot 25 + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.14

Умножим $25$ на $6$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим ${(2 x)}^{0}$ на $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 2^{0} x^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 1 x^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.18

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + x^{0} {(5)}^{3}$

Этап 4.19

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 1 {(5)}^{3}$

Этап 4.20

Умножим ${(5)}^{3}$ на $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + {(5)}^{3}$

Этап 4.21

Возведем $5$ в степень $3$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 125$