Основы мат. анализа Примеры

$3 y^{2} - x - 2 y + 1 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} - 2 y + 1 = x$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} - 2 y = x - 1$

Этап 2

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = - 2$

$c = 0 = x - 1$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e = x - 1$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{3}$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{4}{12}$

Этап 2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$e = 0 - \frac{4 (1)}{12}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{1}{3}$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{3}$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} = x - 1$

Этап 3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 + \frac{1}{3}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 3 + 1}{3}$

Этап 3.5.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$

Этап 4

Разделим каждый член $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ на $1$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{9}$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $\frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

Этап 5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{2}{9}$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{9} - \frac{2}{9}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3 - 2}{9}$

Этап 5.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{3 x - 2}{9}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} (3 x - 2)$