Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$ в виде уравнения.

$y = - x^{2} - 4 x - 1$

Этап 2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- x^{2} - 4 x - 1 = y$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} - 4 x = y + 1$

Этап 4

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0 = y + 1$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Этап 4.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 2$ в виде $- - 2$ .

$d = - - 2$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$d = 2$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.1.6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 4.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 4.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4 = y + 1$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- {(x + 2)}^{2} = y + 1 - 4$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$

Этап 6

Разделим каждый член $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x + 2)}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.2.2

Разделим ${(x + 2)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{y}{- 1}$ .

${(x + 2)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot y$ в виде $- y$ .

${(x + 2)}^{2} = - y + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

${(x + 2)}^{2} = - y + 3$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y) + 3$

Этап 7.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y) - 1 (- 3)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 3)$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y - 3)$