Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} - 16 x}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 x^{2} - 16 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 x^{2} - 16 x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} - 16 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$4 x (x) - 16 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 16 x$ .

$4 x (x) + 4 x (- 4) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $48$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$4 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$4 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $48$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 0$ или $x \geq 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0] \cup [4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 0, x \geq 4}$

Этап 4