Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \log_{2} ((x + 2) (x - 3))$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{2} ((x + 2) (x - 3))$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 2) (x - 3) > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 3) > 0$ верно.

$x = - 2, 3$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 3) > 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $14$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 2) ((0) - 3) > 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $- 6$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$((6) + 2) ((6) - 3) > 0$

Этап 2.6.3.3

Левая часть $24$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 3$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 2, x > 3}$

Этап 4