Основы мат. анализа Примеры

$y = \cos (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 1.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \sin (2 x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 2 \sin (2 x) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (2 x) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 9.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 10

Решение уравнения $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \cos (2 (0))$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- 4 \cos (0)$

Этап 12.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 12.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 13

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \cos (2 (0))$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Этап 14.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 14.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Этап 16.1.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \cos (π)$

Этап 16.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 4 (- \cos (0))$

Этап 16.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.4

Умножим $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Этап 16.4.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4$

Этап 17

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 18.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (π)$

Этап 18.2.2

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (0)$

Этап 18.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Этап 18.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Этап 18.2.5

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = \cos (2 x)$ .

$(0, 1)$ — локальный максимум

$(\frac{π}{2}, - 1)$ — локальный минимум

Этап 20