Основы мат. анализа Примеры

$d = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{3 π}{4}$ и $t$ .

$\frac{d}{d t} [8 \cos (\frac{3 π t}{4})]$

Этап 1.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8 \cos (\frac{3 π t}{4})$ по $t$ равна $8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (- \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Этап 1.3.2

Поскольку $\frac{3 π}{4}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{3 π t}{4}$ по $t$ равна $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Объединим $\frac{3 π}{4}$ и $- 8$ .

$\frac{3 π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{- 24 π}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3.3

Объединим $\frac{- 24 π}{4}$ и $\sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3.4

Сократим общий множитель $- 24$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{1} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3.4.2.4

Разделим $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ на $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 6 π$ является константой относительно $t$ , производная $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ по $t$ равна $- 6 π \frac{d}{d t} [\sin (\frac{3 π t}{4})]$ .

$f'' (t) = - 6 π \frac{d}{d t} \sin (\frac{3 π t}{4})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (u) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$f'' (t) = - 6 π \cos (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t))$

Этап 2.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{3 π}{4}$ и $- 6$ .

$f'' (t) = \frac{3 π \cdot - 6}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.3.2.3

Объединим $\frac{- 18 π}{4}$ и $π$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π π}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{- 18 π^{2}}{4}$ и $\cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.7.3

Сократим общий множитель $- 18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 (2)} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (t) = \frac{- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} t$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot 1$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ на $- 6 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ на $- 6 π$ .

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $\sin (\frac{3 π t}{4})$ на $1$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- 6 π}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $0$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{- 6 π}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{6 (- π)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 \cdot 0}{6 (- π)}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- π}$

Этап 4.3.2

Разделим $0$ на $- π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{3 π t}{4} = 0$

Этап 7

Приравняем числитель к нулю.

$3 π t = 0$

Этап 8

Разделим каждый член $3 π t = 0$ на $3 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $3 π t = 0$ на $3 π$ .

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

Этап 8.2.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{0}{3 π}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 π}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 (π)}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$t = \frac{3 \cdot 0}{3 π}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{0}{π}$

Этап 8.3.2

Разделим $0$ на $π$ .

$t = 0$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{3 π t}{4} = π - 0$

Этап 10

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Этап 10.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3 π$ из $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Этап 10.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим $\frac{4}{3 π} (π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$t = \frac{4}{3 π} π$

Этап 10.2.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

Этап 10.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

Этап 10.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{3}$

Этап 11

Решение уравнения $\frac{3 π t}{4} = 0$ .

$t = 0, \frac{4}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (0)}{4})}{2}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $4$ из $3 π (0)$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4})}{2}$

Этап 13.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 (1)})}{2}$

Этап 13.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 \cdot 1})}{2}$

Этап 13.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π \cdot (0)}{1})}{2}$

Этап 13.1.2.4

Разделим $3 π \cdot (0)$ на $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (3 π \cdot (0))}{2}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Умножим $0$ на $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0 π)}{2}$

Этап 13.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0)}{2}$

Этап 13.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot 1}{2}$

Этап 13.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$- \frac{9 π^{2}}{2}$

Этап 14

$t = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = 0$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$f (0) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (0))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $0$ .

$f (0) = 8 \cos (0)$

Этап 15.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 8 \cdot 1$

Этап 15.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f (0) = 8$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $8$ .

$y = 8$

Этап 16

Найдем вторую производную в $t = \frac{4}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (\frac{4}{3})}{4})}{2}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3}{3} π}{4})}{2}$

Этап 17.1.2

Объединим $\frac{4 \cdot 3}{3}$ и $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3 π}{3}}{4})}{2}$

Этап 17.2

Умножим $4$ на $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})}{2}$

Этап 17.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Сократим выражение $\frac{12 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})}{2}$

Этап 17.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

Этап 17.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

Этап 17.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})}{2}$

Этап 17.3.2

Разделим $4 π$ на $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

Этап 17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

Этап 17.4.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (π)}{2}$

Этап 17.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{9 π^{2} (- \cos (0))}{2}$

Этап 17.4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{9 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

Этап 17.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot - 1}{2}$

Этап 17.4.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- \frac{- 9 π^{2}}{2}$

Этап 17.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{9 π^{2}}{2}$

Этап 17.6

Умножим $- - \frac{9 π^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{9 π^{2}}{2}$

Этап 17.6.2

Умножим $\frac{9 π^{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{9 π^{2}}{2}$

Этап 18

$t = \frac{4}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = \frac{4}{3}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $t = \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (\frac{4}{3}))$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{4}{3})$

Этап 19.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{4}{3})$

Этап 19.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

Этап 19.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

Этап 19.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (π)$

Этап 19.2.3

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- \cos (0))$

Этап 19.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Этап 19.2.5

Умножим $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cdot - 1$

Этап 19.2.5.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 8$

Этап 19.2.6

Окончательный ответ: $- 8$ .

$y = - 8$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (t) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$ .

$(0, 8)$ — локальный максимум

$(\frac{4}{3}, - 8)$ — локальный минимум

Этап 21