Основы мат. анализа Примеры

$y = \log (x^{3} - 36 x)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log (x^{3} - 36 x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{3} - 36 x > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 36 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 36 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ .

$x (x^{2} - 36) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 2.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 6) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 6, 6$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 224$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $81$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $- 81$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.9.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

Этап 2.9.4.3

Левая часть $224$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 0$ Истина

$0 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 0$ Истина

$0 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 6 < x < 0$ или $x > 6$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - 6 < x < 0, x > 6}$

Этап 4