Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{7}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = 6 x^{2} - 2 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x^{2} - 2 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x^{2} - 2 x + 9$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 2 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $6$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.8

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 + 0)$

Этап 2.9

Добавим $12 x - 2$ и $0$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2)$