Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1 + x}{e^{\cos (x)}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = e^{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{{(e^{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{\cos (x)})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{\cos (x) \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{e^{\cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 2.6

Умножим $e^{\cos (x)}$ на $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} (- \sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 5.2

Умножим $1 + x$ на $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 e^{\cos (x)} + x e^{\cos (x)}) \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 6.3

Умножим $e^{\cos (x)}$ на $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{\cos (x)} \sin (x) + e^{\cos (x)} x \sin (x) + e^{\cos (x)}}{e^{2 \cos (x)}}$