Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(2 x^{3} + 3)}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 2 x^{3} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{3} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{3} + 3$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2})$

Этап 2.6.2

Умножим $6$ на $4$ .

$24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$

Этап 2.6.3

Изменим порядок множителей в $24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$ .

$24 x^{2} {(2 x^{3} + 3)}^{3}$