Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \arcsin (\sqrt{1 - x^{2}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\arcsin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10.3

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10.4

Умножим $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 11

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- (2 x))$

Этап 16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- 2 x)$

Этап 16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} x$

Этап 16.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Этап 16.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Этап 17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})})}$

Этап 17.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})})}$

Этап 17.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Этап 18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x^{2}}}$

Этап 19.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x^{2}}}$

Этап 19.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x^{2}}}$

Этап 19.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x^{2}}}$

Этап 19.2.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x^{2}}}$

Этап 19.2.5

Добавим $0$ и $x^{2}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}}}$

Этап 19.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.2.7

Сократим общий множитель.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.2.8

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$