Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 7$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 7$ в степень $5$ .

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Этап 4.2.2

Возведем $- 7$ в степень $4$ .

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Этап 4.2.3

Умножим $7$ на $2401$ .

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Этап 4.2.4

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Этап 4.2.5

Умножим $2$ на $- 343$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Этап 4.2.6

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

Этап 4.2.7

Умножим $14$ на $49$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

Этап 4.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $- 16807$ и $16807$ .

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

Этап 4.3.2

Вычтем $686$ из $0$ .

$- 686 + 686 - 7 + 7$

Этап 4.3.3

Добавим $- 686$ и $686$ .

$0 - 7 + 7$

Этап 4.3.4

Вычтем $7$ из $0$ .

$- 7 + 7$

Этап 4.3.5

Добавим $- 7$ и $7$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 7$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(- 7)$ под следующим членом делимого $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(- 14)$ под следующим членом делимого $(14)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Этап 6.11

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

Этап 6.13

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

Этап 6.14

Упростим частное многочленов.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Этап 7

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

Этап 8

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

Этап 9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

Этап 9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 9.3

Перепишем многочлен.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

Этап 9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 11

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.2.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 11.5.3

Перепишем многочлен.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.5.4

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.7

Вынесем множитель $7$ из $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.7.2

Вынесем множитель $7$ из $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Этап 11.7.3

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Этап 11.7.4

Вынесем множитель $7$ из $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Этап 11.7.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 11.8

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 11.9

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Этап 11.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 11.10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 11.10.3

Перепишем многочлен.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 11.10.4

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 11.11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 11.12

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.12.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 11.12.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Этап 11.12.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 13

Приравняем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 13.2

Решим ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 13.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 13.2.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 13.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 13.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 13.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 14

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 14.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ верно.

$x = i, - i, - 7$

Этап 16