Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1 = 0$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (- \frac{1}{2^{3}}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (- \frac{1}{8}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{8}) - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \frac{- 1}{2 (4)} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.5.3

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- 1}{2 \cdot 4} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{4} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} - 17 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} - 17 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} - 17 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4} - 17 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.9

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} - 17 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4} - 17 \frac{1}{2^{2}} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4} - 17 (\frac{1}{4}) - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.12

Объединим $- 17$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{- 17}{4} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} - \frac{17}{4} - 11 (- \frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.14

Умножим $- 11 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{17}{4} + 11 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.14.2

Объединим $11$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{17}{4} + \frac{11}{2} - 1$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 1 + \frac{- 1 - 17}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $17$ из $- 1$ .

$- 1 + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{11}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{11}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 18}{4} + \frac{11 \cdot 2}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 4 - 18 + 11 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 - 18 + 11 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5.2

Умножим $11$ на $2$ .

$\frac{- 4 - 18 + 22}{4}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $18$ из $- 4$ .

$\frac{- 22 + 22}{4}$

Этап 4.6.2

Добавим $- 22$ и $22$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 4.6.3

Разделим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x + \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1}{x + \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 17)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$
	$2$	$- 18$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 18)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(- 11)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$
	$2$	$- 18$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$
	$2$	$- 18$	$- 2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$	$1$
	$2$	$- 18$	$- 2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 17$	$- 11$	$- 1$
		$- 1$	$9$	$1$
	$2$	$- 18$	$- 2$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + - 18 x - 2$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 18 x - 2$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 18 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 18 x - 2)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- 9 x) - 2)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- 9 x) + 2 (- 1))$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (- 9 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 9 x) + 2 (- 1))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 9 x) + 2 (- 1)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 9 x - 1))$

Этап 8

Разложим $2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5$

Этап 8.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 17 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 8.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 17 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 8.3.3

Умножим $2$ на $- 0.125$ .

$- 0.25 - 17 {(- 0.5)}^{2} - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 8.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.25 - 17 \cdot 0.25 - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 8.3.5

Умножим $- 17$ на $0.25$ .

$- 0.25 - 4.25 - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 8.3.6

Вычтем $4.25$ из $- 0.25$ .

$- 4.5 - 11 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 8.3.7

Умножим $- 11$ на $- 0.5$ .

$- 4.5 + 5.5 - 1$

Этап 8.3.8

Добавим $- 4.5$ и $5.5$ .

$1 - 1$

Этап 8.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 8.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1}{2 x + 1}$

Этап 8.5

Разделим $2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$11 x$

$1$

Этап 8.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$

Этап 8.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 8.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 8.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Этап 8.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 8.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 8.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 8.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x^{2} - 9 x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 8.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$

Этап 8.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$9 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 8.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 8.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 8.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Этап 8.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	-	$11 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Этап 8.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 9 x - 1$

Этап 8.6

Запишем $2 x^{3} - 17 x^{2} - 11 x - 1$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (x^{2} - 9 x - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - 9 x - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 9 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 9 x - 1$ к $0$ .

$x^{2} - 9 x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 9 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 9$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.1.3

Добавим $81$ и $4$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Этап 11.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.1.3

Добавим $81$ и $4$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Этап 11.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.1.3

Добавим $81$ и $4$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Этап 11.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x^{2} - 9 x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 0.5, 9.10977222 \dots, - 0.10977222 \dots$

Этап 14