Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + {(- 1)}^{1 + 3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4.1.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$1 + {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 + 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + 1 + 2 - 4 \cdot - 1 - 8$

Этап 4.1.6

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$1 + 1 + 2 + 4 - 8$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 + 2 + 4 - 8$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4 + 4 - 8$

Этап 4.2.3

Добавим $4$ и $4$ .

$8 - 8$

Этап 4.2.4

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$	$- 2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$	$4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(8)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + - 2 x^{2} + (4) x - 8$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2}) + 4 x - 8$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) + x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

$(x + 1) x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 4)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{3}$ .

$- x^{2} x + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (x) - x^{2} (- 2)$ .

$- x^{2} (x - 2) + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

Этап 9.3

Разложим $x^{4} - 4 x - 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 9.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 9.3.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{4} - 4 \cdot 2 - 8$

Этап 9.3.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 4 \cdot 2 - 8$

Этап 9.3.3.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$16 - 8 - 8$

Этап 9.3.3.4

Вычтем $8$ из $16$ .

$8 - 8$

Этап 9.3.3.5

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 9.3.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 4 x - 8}{x - 2}$

Этап 9.3.5

Разделим $x^{4} - 4 x - 8$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 9.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 9.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 9.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 9.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 9.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 9.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 9.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 9.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 9.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 9.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 9.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 9.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 9.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 8 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 9.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

Этап 9.3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

Этап 9.3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

Этап 9.3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Этап 9.3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 8$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Этап 9.3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Этап 9.3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4$

Этап 9.3.6

Запишем $x^{4} - 4 x - 8$ в виде набора множителей.

$- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 9.4

Вынесем множитель $x - 2$ из $- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $- x^{2} (x - 2)$ .

$(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ .

$(x - 2) (- x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 9.5

Добавим $- x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (x^{3} + x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 9.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Перепишем $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 2) ((x^{3} + x^{2}) + 4 x + 4) = 0$

Этап 9.6.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 2) (x^{2} (x + 1) + 4 (x + 1)) = 0$

Этап 9.6.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} + 4)) = 0$

Этап 9.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 11.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 13

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 13.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 13.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 13.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 13.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 13.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 13.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 1, 2 i, - 2 i$

Этап 15