Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 12 y = 36$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $- 14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 7}{1}$

Этап 1.3.2.2.4

Разделим $- 7$ на $1$ .

$d = - 7$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Этап 1.4.2.1.3

Разделим $196$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Этап 1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $49$ .

$e = 0 - 49$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $49$ из $0$ .

$e = - 49$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 7)}^{2} - 49$ .

${(x - 7)}^{2} - 49$

Этап 2

Подставим ${(x - 7)}^{2} - 49$ вместо $x^{2} - 14 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 14 x + 12 y = 36$ .

${(x - 7)}^{2} - 49 + y^{2} + 12 y = 36$

Этап 3

Перенесем $- 49$ в правую часть уравнения, прибавив $49$ к обеим частям.

${(x - 7)}^{2} + y^{2} + 12 y = 36 + 49$

Этап 4

Составим полный квадрат для $y^{2} + 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{6}{1}$

Этап 4.3.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$d = 6$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Этап 4.4.2.1.3

Разделим $144$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 6)}^{2} - 36$ .

${(y + 6)}^{2} - 36$

Этап 5

Подставим ${(y + 6)}^{2} - 36$ вместо $y^{2} + 12 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 14 x + 12 y = 36$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 6)}^{2} - 36 = 36 + 49$

Этап 6

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 36 + 49 + 36$

Этап 7

Упростим $36 + 49 + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $36$ и $49$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 85 + 36$

Этап 7.2

Добавим $85$ и $36$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 121$

Этап 8

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 9

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 11$

$h = 7$

$k = - 6$

Этап 10

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(7, - 6)$

Этап 11

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(7, - 6)$

Радиус: $11$

Этап 12