Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 16 x + 8 y - 10 = 0$

Этап 1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 16 x + 8 y = 10$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 5$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 3.3.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Этап 3.4.2.1.3

Разделим $64$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Этап 4

Подставим ${(x - 4)}^{2} - 16$ вместо $x^{2} - 8 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 5$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 + y^{2} + 4 y = 5$

Этап 5

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + 4 y = 5 + 16$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 6.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 6.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Этап 7

Подставим ${(y + 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} + 4 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 5$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 5 + 16$

Этап 8

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5 + 16 + 4$

Этап 9

Упростим $5 + 16 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $5$ и $16$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 21 + 4$

Этап 9.2

Добавим $21$ и $4$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

Этап 10

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 11

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 5$

$h = 4$

$k = - 2$

Этап 12

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(4, - 2)$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(4, - 2)$

Радиус: $5$

Этап 14