Основы мат. анализа Примеры

$y = 2 e^{x - 2}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 e^{y - 2}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 e^{y - 2} = x$ .

$2 e^{y - 2} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 e^{y - 2} = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 e^{y - 2} = x$ на $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $e^{y - 2}$ на $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2})$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{y - 2})$ , вынося $y - 2$ из логарифма.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Этап 2.4.3

Умножим $y - 2$ на $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2})$

Этап 2.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ обратной к $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 e^{x - 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Этап 4.2.3.1.2

Разделим $e^{x - 2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Этап 4.2.3.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x - 2$ из степени.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Этап 4.2.3.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Этап 4.2.3.4

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\ln (\frac{x}{2}) + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2}$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\ln (\frac{x}{2})$ и $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Этап 4.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ — обратная к $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$