Основы мат. анализа Примеры

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5 = 0$

Этап 1

Разложим $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 11$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{09}, \pm 5, \pm 0.\overline{45}$

Этап 1.3

Подставим $0.\overline{45}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{45}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0.\overline{45}$ в многочлен.

$11 \cdot {0.\overline{45}}^{3} + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Этап 1.3.2

Возведем $0.\overline{45}$ в степень $3$ .

$11 \cdot 0.09391435 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Этап 1.3.3

Умножим $11$ на $0.09391435$ .

$1.03305785 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Этап 1.3.4

Возведем $0.\overline{45}$ в степень $2$ .

$1.03305785 + 17 \cdot 0.20661157 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Этап 1.3.5

Умножим $17$ на $0.20661157$ .

$1.03305785 + 3.51239669 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Этап 1.3.6

Добавим $1.03305785$ и $3.51239669$ .

$4.54545454 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

Этап 1.3.7

Умножим $- 21$ на $0.\overline{45}$ .

$4.54545454 - 9.\overline{54} + 5$

Этап 1.3.8

Вычтем $9.\overline{54}$ из $4.54545454$ .

$- 5 + 5$

Этап 1.3.9

Добавим $- 5$ и $5$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $0.\overline{45}$ — известный корень, разделим многочлен на $11 x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5}{11 x - 5}$

Этап 1.5

Разделим $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ на $11 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$11 x$

$5$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$5$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $11 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $11 x$ .

					$x^{2}$
	$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			+	$11 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $11 x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $22 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $11 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $22 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 11 x$ на член с максимальной степенью в делителе $11 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							-	$11 x$	+	$5$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 11 x + 5$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 2 x - 1$

Этап 1.6

Запишем $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ в виде набора множителей.

$(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$11 x - 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $11 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $11 x - 5$ к $0$ .

$11 x - 5 = 0$

Этап 3.2

Решим $11 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$11 x = 5$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $11 x = 5$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $11 x = 5$ на $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{11}$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 2 x - 1$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{45}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$