Основы мат. анализа Примеры

$1 + \sin (θ) = 2 \cos^{2} (θ)$

Этап 1

Вычтем $2 \cos^{2} (θ)$ из обеих частей уравнения.

$1 + \sin (θ) - 2 \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 2

Заменим $- 2 \cos^{2} (θ)$ на $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \sin (θ) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$1 + \sin (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 4

Вычтем $2$ из $1$ .

$\sin (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $\sin (θ)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Этап 7.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 9

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 9.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 10

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 12

Подставим $\sin (θ)$ вместо $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

Этап 14

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 14.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Этап 14.4

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 14.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 14.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 14.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- 1)$

Этап 15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Этап 15.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 15.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 15.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 15.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 15.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 15.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 15.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 15.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 15.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 15.6.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 15.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$