Основы мат. анализа Примеры

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Умножим каждый член на множитель $1$ , чтобы привести все дроби к общему знаменателю. В этом случае общий знаменатель равен $2$ .

$\sin (4 x) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $2$ .

$\sin (4 x) \cdot 2$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $\sin (4 x)$ .

$\frac{2 \sin (4 x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4

Упростим $\sin (4 x) \cdot \frac{2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $2$ на $2$ .

$\sin (4 x) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2

Умножим $\sin (4 x)$ на $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Этап 7

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x = π - \frac{π}{3}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 9.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 9.1.4.2

Вычтем $π$ из $3 \cdot π$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Этап 9.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 9.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 9.2.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Этап 9.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 9.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.2.3.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 9.2.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 10

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 10.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 10.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 10.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 11

Период функции $\sin (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$