Основы мат. анализа Примеры

${(x - 3)}^{\frac{2}{3}} = 36$

Этап 1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

${(x - 3)}^{\frac{2}{3}} - 36 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ в виде ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 36 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 6^{2} = 0$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ и $b = 6$ .

$({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6) ({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Этап 4

Приравняем ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6$ к $0$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$

Этап 4.2

Решим ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} = - 6$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 6)}^{3}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 6)}^{3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 6)}^{3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 3)}^{1} = {(- 6)}^{3}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x - 3 = {(- 6)}^{3}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$x - 3 = - 216$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = - 216 + 3$

Этап 4.2.4.2

Добавим $- 216$ и $3$ .

$x = - 213$

Этап 5

Приравняем ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6$ к $0$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Этап 5.2

Решим ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} = 6$

Этап 5.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Этап 5.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Упростим ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Этап 5.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Этап 5.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 3)}^{1} = 6^{3}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Упростим.

$x - 3 = 6^{3}$

Этап 5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$x - 3 = 216$

Этап 5.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 216 + 3$

Этап 5.2.4.2

Добавим $216$ и $3$ .

$x = 219$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6) ({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$ верно.

$x = - 213, 219$