Основы мат. анализа Примеры

$- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1 - \sin (θ)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 1 = - \sin (θ)$

Этап 1.2

Добавим $\sin (θ)$ к обеим частям уравнения.

$- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 1 + \sin (θ) = 0$

Этап 2

Упростим $- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 1 + \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок $\cos^{2} (θ)$ и $- 1$ .

$- \sin^{2} (θ) - 1 + \cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- \sin^{2} (θ) - 1 (1) + \cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (θ)$ .

$- \sin^{2} (θ) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

$- \sin^{2} (θ) - 1 (1 - \cos^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

$- \sin^{2} (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 2.7

Вычтем $\sin^{2} (θ)$ из $- \sin^{2} (θ)$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $- \sin (θ)$ из $- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- \sin (θ)$ из $- 2 \sin^{2} (θ)$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) + \sin (θ) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $\sin (θ)$ в виде $1 \sin (θ)$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) + 1 \sin (θ) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- \sin (θ)$ из $1 \sin (θ)$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) - \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- \sin (θ)$ из $- \sin (θ) (2 \sin (θ)) - \sin (θ) \cdot - 1$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \sin (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \sin (θ) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \sin (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (θ) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 6.2.5

$θ = π - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$