Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$
	$1$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$
	$1$	$8$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$
	$1$	$8$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$
	$1$	$8$	$13$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(26)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$	$26$
	$1$	$8$	$13$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$	$26$
	$1$	$8$	$13$	$8$

Этап 2.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 8 x + 13 + \frac{8}{x - 2}$

Этап 2.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 8 x + 13 + \frac{8}{x - 2}$

Этап 3

Поскольку $2 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $2$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $2$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 3}$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$
	$1$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$
	$1$	$9$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(9)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(27)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$
	$1$	$9$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$
	$1$	$9$	$24$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(24)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(72)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$	$72$
	$1$	$9$	$24$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$	$72$
	$1$	$9$	$24$	$54$

Этап 4.9

$1 x^{2} + 9 x + 24 + \frac{54}{x - 3}$

Этап 4.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 9 x + 24 + \frac{54}{x - 3}$

Этап 5

Поскольку $3 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $3$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $3$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 6}$ при $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$
	$1$	$12$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(12)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(72)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$
	$1$	$12$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$
	$1$	$12$	$69$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(69)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(414)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$	$414$
	$1$	$12$	$69$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$	$414$
	$1$	$12$	$69$	$396$

Этап 6.9

$1 x^{2} + 12 x + 69 + \frac{396}{x - 6}$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 12 x + 69 + \frac{396}{x - 6}$

Этап 7

Поскольку $6 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $6$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $6$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x + 6}$ при $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$
	$1$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$
	$1$	$0$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$
	$1$	$0$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$
	$1$	$0$	$- 3$

Этап 8.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 3)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(18)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$	$18$
	$1$	$0$	$- 3$

Этап 8.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$	$18$
	$1$	$0$	$- 3$	$0$

Этап 8.9

$1 x^{2} + 0 x - 3$

Этап 8.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 3$

Этап 9

Поскольку $- 6 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 6$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 6$

Этап 10

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 9}$ при $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 10.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 10.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(9)$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$
	$1$

Этап 10.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$
	$1$	$15$

Этап 10.5

Умножим последний элемент в области результата $(15)$ на делитель $(9)$ и запишем их произведение $(135)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$
	$1$	$15$

Этап 10.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$
	$1$	$15$	$132$

Этап 10.7

Умножим последний элемент в области результата $(132)$ на делитель $(9)$ и запишем их произведение $(1188)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$	$1188$
	$1$	$15$	$132$

Этап 10.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$	$1188$
	$1$	$15$	$132$	$1170$

Этап 10.9

$1 x^{2} + 15 x + 132 + \frac{1170}{x - 9}$

Этап 10.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 15 x + 132 + \frac{1170}{x - 9}$

Этап 11

Поскольку $9 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $9$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $9$

Этап 12

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x + 9}$ при $x = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 12.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 12.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 9)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$
	$1$

Этап 12.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$
	$1$	$- 3$

Этап 12.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 3)$ на делитель $(- 9)$ и запишем их произведение $(27)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$
	$1$	$- 3$

Этап 12.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$
	$1$	$- 3$	$24$

Этап 12.7

Умножим последний элемент в области результата $(24)$ на делитель $(- 9)$ и запишем их произведение $(- 216)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$	$- 216$
	$1$	$- 3$	$24$

Этап 12.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$	$- 216$
	$1$	$- 3$	$24$	$- 234$

Этап 12.9

$1 x^{2} + - 3 x + 24 + \frac{- 234}{x + 9}$

Этап 12.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 3 x + 24 - \frac{234}{x + 9}$

Этап 13

Поскольку $- 9 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 9$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 9$

Этап 14

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 18}$ при $x = 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 14.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 14.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(18)$ и запишем их произведение $(18)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$
	$1$

Этап 14.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$
	$1$	$24$

Этап 14.5

Умножим последний элемент в области результата $(24)$ на делитель $(18)$ и запишем их произведение $(432)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$
	$1$	$24$

Этап 14.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$
	$1$	$24$	$429$

Этап 14.7

Умножим последний элемент в области результата $(429)$ на делитель $(18)$ и запишем их произведение $(7722)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$	$7722$
	$1$	$24$	$429$

Этап 14.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$	$7722$
	$1$	$24$	$429$	$7704$

Этап 14.9

$1 x^{2} + 24 x + 429 + \frac{7704}{x - 18}$

Этап 14.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 24 x + 429 + \frac{7704}{x - 18}$

Этап 15

Поскольку $18 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $18$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $18$

Этап 16

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x + 18}$ при $x = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

Этап 16.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

Этап 16.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 18)$ и запишем их произведение $(- 18)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$
	$1$

Этап 16.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$
	$1$	$- 12$

Этап 16.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 12)$ на делитель $(- 18)$ и запишем их произведение $(216)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$
	$1$	$- 12$

Этап 16.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$
	$1$	$- 12$	$213$

Этап 16.7

Умножим последний элемент в области результата $(213)$ на делитель $(- 18)$ и запишем их произведение $(- 3834)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$	$- 3834$
	$1$	$- 12$	$213$

Этап 16.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$	$- 3834$
	$1$	$- 12$	$213$	$- 3852$

Этап 16.9

$1 x^{2} + - 12 x + 213 + \frac{- 3852}{x + 18}$

Этап 16.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 12 x + 213 - \frac{3852}{x + 18}$

Этап 17

Поскольку $- 18 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 18$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 18$

Этап 18

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $2, 3, 6, 9, 18$

Нижние границы: $- 6, - 9, - 18$

Этап 19