Основы мат. анализа Примеры

$1 + \sec^{2} (θ) \cdot \sin^{2} (θ) = \sec^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$1 + \sec^{2} (θ) \cdot \sin^{2} (θ)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$1 + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cdot \sin^{2} (θ)$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cdot \sin^{2} (θ)$

Этап 2.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \sin^{2} (θ)$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ и $\sin^{2} (θ)$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ в виде $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$1 + \sec^{2} (θ) \cdot \sin^{2} (θ) = \sec^{2} (θ)$ — тождество