Основы мат. анализа Примеры

$\sec (u) - \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ на $\frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$ .

$\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 4.2

Умножим $\cos (u)$ на $1$ .

$\frac{\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))$ .

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \sin (u))}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{\cos^{2} (u)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\cos (u)$ из $\cos (u) - \cos (u) \sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (u) \cdot 1 - \cos (u) \sin (u)}{{\cos (u)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $\cos (u)$ из $- \cos (u) \sin (u)$ .

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $\cos (u)$ из $\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))$ .

$\frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

$\frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 8

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\sec (u) - \tan (u)$

Этап 9

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)$

Этап 9.2

Запишем $\tan (u)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sec (u) - \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ — тождество