Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.1.2

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \frac{1}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.1.4

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \frac{1}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.1.5.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.1.5.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.1.5.4

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2})$

Этап 4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.1.7

Умножим $- - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $\frac{\cos (x)}{2}$ из $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.2.2

Добавим $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$ и $0$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sin (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.5

Добавим $\sqrt{3} \sin (x)$ и $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.6.2

Разделим $\sqrt{3} \sin (x)$ на $1$ .

$\sqrt{3} \sin (x)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$ — тождество