Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \sin (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ)$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель ${(1 + \sin (θ))}^{2}$ и $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ в виде $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ .

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ — тождество