Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} \geq 3 x + 18$

Этап 1

Вычтем $3 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 3 x \geq 18$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 3 x = 18$

Этап 3

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Этап 4

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 6, - 3$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{2} \geq 3 (- 6) + 18$

Этап 10.1.3

Левая часть $36$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} \geq 3 (0) + 18$

Этап 10.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $18$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{2} \geq 3 (8) + 18$

Этап 10.3.3

Левая часть $64$ больше правой части $42$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x \geq 6$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Этап 13