Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} > 4 x^{2}$

Этап 1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$x^{4} - 4 x^{2} > 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{4} > 4 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.1.3

Левая часть $256$ больше правой части $64$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

${(- 1)}^{4} > 4 {(- 1)}^{2}$

Этап 10.2.3

Левая часть $1$ не больше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

${(1)}^{4} > 4 {(1)}^{2}$

Этап 10.3.3

Левая часть $1$ не больше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{4} > 4 {(4)}^{2}$

Этап 10.4.3

Левая часть $256$ больше правой части $64$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 2$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Этап 13