Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 9 x^{2} < - 6 x + 56$

Этап 1

Добавим $6 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x < 56$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x = 56$

Этап 3

Вычтем $56$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

Этап 4.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Этап 4.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Этап 4.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 9 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 56$

Этап 4.1.3.4

Умножим $9$ на $4$ .

$8 + 36 + 6 \cdot 2 - 56$

Этап 4.1.3.5

Добавим $8$ и $36$ .

$44 + 6 \cdot 2 - 56$

Этап 4.1.3.6

Умножим $6$ на $2$ .

$44 + 12 - 56$

Этап 4.1.3.7

Добавим $44$ и $12$ .

$56 - 56$

Этап 4.1.3.8

Вычтем $56$ из $56$ .

$0$

Этап 4.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56}{x - 2}$

Этап 4.1.5

Разделим $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$56$

Этап 4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$

Этап 4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

Этап 4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $11 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Этап 4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $11 x^{2} - 22 x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Этап 4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$

Этап 4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Этап 4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $28 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Этап 4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							+	$28 x$	-	$56$

Этап 4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $28 x - 56$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$

Этап 4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$
										$0$

Этап 4.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 11 x + 28$

Этап 4.1.6

Запишем $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Этап 4.2

Разложим $x^{2} + 11 x + 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $x^{2} + 11 x + 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $28$ , а сумма — $11$ .

$4, 7$

Этап 4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 8

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 2, - 4, - 7$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{3} + 9 {(- 10)}^{2} < - 6 \cdot - 10 + 56$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 100$ меньше правой части $116$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} < - 6 \cdot - 6 + 56$

Этап 11.2.3

Левая часть $108$ не меньше правой части $92$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} < - 6 \cdot 0 + 56$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $56$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} + 9 {(4)}^{2} < - 6 \cdot 4 + 56$

Этап 11.4.3

Левая часть $208$ не меньше правой части $32$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 7$ или $- 4 < x < 2$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 7) \cup (- 4, 2)$

Этап 14