Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 2 x^{2} \geq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 2 x^{2} = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$x^{2} x - 2 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot - 2$ .

$x^{2} (x - 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

${(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $32$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq 2$ или $x = 0$

Этап 10

Объединим интервалы.

$x = 0 or x \geq 2$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[0, 0] \cup [2, \infty)$

Этап 12