Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 7 x^{2} - 18 x > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 7 x^{2} - 18 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 7 x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 7 x^{2} - 18 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 7 x) - 18 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 18 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 7 x) + x \cdot - 18 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 7 x)$ .

$x (x^{2} - 7 x) + x \cdot - 18 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 7 x) + x \cdot - 18$ .

$x (x^{2} - 7 x - 18) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} - 7 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 7$ .

$- 9, 2$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 9) (x + 2)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 9) (x + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 9) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, 9, - 2$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 9$

$x > 9$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{3} - 7 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 104$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

${(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} - 18 \cdot - 1 > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $10$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} - 7 {(4)}^{2} - 18 \cdot 4 > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 120$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

${(12)}^{3} - 7 {(12)}^{2} - 18 \cdot 12 > 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $504$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x < 0$ или $x > 9$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 2, 0) \cup (9, \infty)$

Этап 12