Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 20$

Этап 1

Добавим $4 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 20$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 20$

Этап 3

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 20 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 20 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x - 5) + 4 (x - 5) = 0$

Этап 4.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 7.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 7.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 7.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 7.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 7.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 7.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 7.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 7.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 7.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 7.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x^{2} + 4) = 0$ верно.

$x = 5, 2 i, - 2 i$

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 5$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 5]$

Этап 11