Основы мат. анализа Примеры

$x {(x + 6)}^{2} (x - 2) \leq 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим ${(x + 6)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x + 6)}^{2} (x - 2) \leq 0$ верно.

$x = 0, - 6, 2$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$(- 8) {((- 8) + 6)}^{2} ((- 8) - 2) \leq 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $320$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(- 3) {((- 3) + 6)}^{2} ((- 3) - 2) \leq 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $135$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$(1) {((1) + 6)}^{2} ((1) - 2) \leq 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $- 49$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 7.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) {((4) + 6)}^{2} ((4) - 2) \leq 0$

Этап 7.4.3

Левая часть $800$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 2$ или $x = - 6$

Этап 9

Объединим интервалы.

$x = - 6 or 0 \leq x \leq 2$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 6, - 6] \cup [0, 2]$

Этап 11