Основы мат. анализа Примеры

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Этап 2.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 2.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 2.1.3.3

Умножим $6$ на $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 2.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 2.1.3.5

Умножим $25$ на $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 2.1.3.6

Добавим $0.75$ и $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 24$ на $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $12$ из $7$ .

$- 5 + 5$

Этап 2.1.3.9

Добавим $- 5$ и $5$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Этап 2.1.5

Разделим $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $28 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $28 x^{2} - 14 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x + 5$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Этап 2.1.6

Запишем $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5) = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Запишем $14$ как $- 1$ плюс $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5) = 0$

Этап 2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5) = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1)) = 0$

Этап 2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - 5$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$6 {(- 8)}^{3} + 25 {(- 8)}^{2} - 24 \cdot - 8 + 5 > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 1275$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$6 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 5 > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.42$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $0.42$ в исходном неравенстве.

$6 {(0.42)}^{3} + 25 {(0.42)}^{2} - 24 \cdot 0.42 + 5 > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 0.225472$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$6 {(3)}^{3} + 25 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 5 > 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $320$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ Истина

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ Истина

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ или $x > \frac{1}{2}$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 5, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 12